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Les nombres réels

Ce texte est destiné aux étudiants de première année de mathématiques pour l’enseignement et de mathématiques fondamentales. C’est le chapitre 1 du cours d’Analyse. Il peut servir de référence pour les professeurs de lycées.

Après avoir montré les lacunes du corps Q des nombres rationnels, on définit de façon axiomatique le corps R des nombres réels. La différence essentielle entre ces deux corps est l’existence de la borne supérieure pour les parties majorées de R,  une propriété qui n’est pas vraie pour Q. L’étudiant doit maitriser la notion de bonne supérieure qui est l’outil essentiel de démonstration de l’essentiel des  théorèmes étudiés en première année.


On construit une injection naturelle de Q dans R, ce qui permet de considérer Q comme une partie de R. La topologie de R est définie et étudiée : intervalles, point adhérent à un ensemble, point d’accumulation, densité de Q dans R, théorème de Bolzano-Weierstrass…
Pour bien assimiler le texte, le lecteur devra faire au fur et à mesure les exercices inclus.

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